黄金比のまとめ情報

黄金比』の解説

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黄金比(おうごんひ、)は、

1 : \frac

である。近似値は1:1.618、約5:8。

線分a, b の長さで 2 つに分割するときに、a : b = b : (a + b) が成り立つように分割したときの比 a : b のことであり、最も美しい比とされる。貴金属比の1つ(第1貴金属比)。

黄金比において

\frac

は、二次方程式 x2x − 1 = 0 の正のであり、これを黄金数(おうごんすう、)という。しばしばギリシア文字の (ファイ)で表されるが、(タウ)を用いる場合もある。

\phi = \frac = 1.6180339887\ldots

黄金数には,次のような性質がある。

\phi^2 = \phi + 1 = 2.6180339887\ldots
1/\phi = \phi - 1 = 0.6180339887\ldots

黄金比は中末比(ちゅうまつひ)や外中比(がいちゅうひ)とも呼ばれる。a : b = b : (a + b) が成り立つとき、a末項(まっこう)、b中項(ちゅうこう)という。

性質

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: 1 = 1 : = :

上式を小数の近似値で表示すると、0.618 : 1 ≒ 1 : 1.618 ≒ 1.618 : 2.618 となる。

黄金数は次のような美しい連分数表示をもつ。

\phi = 1 + \cfrac =

次のような表示ももつ。

\phi^ = = 0 + \cfrac
\phi^ = \phi -1 = \frac = 0.6180339887\ldots\,
\phi = \sqrt
\phi = \frac+\sum_^\frac

三角関数を使うと次のように表すことができる。

\phi = 2\cos=2\cos 36^\circ
\phi = 2\sin=2\sin 54^\circ
\phi = -2\sin(666^\circ)
\phi = 1+2\sin = 1 + 2\sin 18^\circ
\phi = 1+2\cos = 1 + 2\cos 72^\circ
\phi = \csc = \csc 18^\circ
\phi^ = 2\sin = 2\sin 18^\circ
\phi^ = 2\cos = 2\cos 72^\circ

指数関数を使うと次のように表すことができる。

\phi = e^ + e^

フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の比は黄金比に収束する。また、 1, φ, φ2, φ3, φ4, ... という等比数列を考えたとき、1 + φ = φ2 を利用すると

φ = φ,
φ2 = φ + 1,
φ3 = 2φ + 1,
φ4 = 3φ + 2,
φ5 = 5φ + 3,
φ6 = 8φ + 5,
...

となり、係数にフィボナッチ数列が出現する。フィボナッチ数列の第 n 項を Fn とすると、φn は次のようになる。

φn = Fnφ + Fn-1

直径の比が、

: 1 :

である3つの円が互いに外接する時、その3つの円の全てに外接する円を2つ描くことが出来る。

それらを合わせた5つの円の直径の比は、

()^2 : : 1 : : ()^2

である。

黄金比で長さを分けることを黄金比分割または黄金分割という。

幾何学的には正五角形五芒星(星形:☆)から容易に得ることができる。正五角形の一辺と対角線の比、五芒星を構成する線分と頂点を結ぶ線分の比は、黄金比となる。

歴史

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  • 伝承では、古代ギリシアの彫刻家ペイディアス (Φειδίας) が初めて使ったといわれる。黄金数の記号φは彼の頭文字であるが、使われ始めたのは20世紀である。なお、τはギリシア語の「分割」に由来し、やはり20世紀に使われ始めた。
  • レオナルド・ダ・ヴィンチも発見していた記録が残っている。
  • 「黄金比」という用語が文献上に初めて登場したのは1835年刊行のドイツの数学者マルティン・オーム(オームの法則で有名なゲオルク・ジーモン・オームの弟)の著書『初等純粋数学』。また、1826年刊行の初版にはこの記載がないことから、1830年頃に誕生したと考えられる。
  • ユークリッド原論』では第6巻の定義3で外中比の定義が記されている。
  • 『ユークリッド原論』の第6巻の命題30で「与えられた線分を外中比に分ける作図法」が記されている。

黄金比の近似値

1:1.
6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089 ・・・・・・

現在の用途

黄金比は、。

ディスプレイアスペクト比には、WUXGA解像度1920x1200)など、黄金比に近い8:5のものもある。

作図

400px

最も簡単な作図方法は下記の通り。

  1. 正方形 abcd を描きます。
  2. 辺 bc の中点 o を中心に、コンパスなどを用いて線分 oa または od を半径とした円を描きます。
  3. 2で描いた円と辺 bc の延長線との交点を e とし、長方形abefを描く。
  4. この時の長方形abefが、黄金比となります。

その他

黄金比はパルテノン神殿ピラミッドといった歴史的建造物美術品の中に見出すとされてきたが、これらは後付けの都市伝説であるものが含まれる。一方で、意図的に黄金比を意識して創作した芸術家も数多い。

長方形は縦と横との関係が黄金比になるとき、安定した美感を与えるという説がある。これはグスタフ・フェヒナー1867年の実験を論拠としている。しかし、フェヒナーの実験の解釈については肯定的もしくは否定的な様々な見解がある。1997年に国際経験美学会誌の黄金分割特集では、この実験結果を「永遠に葬るもの」とする見解が掲載された。また類似の安定した比として白銀比がある。

自然界に存在する植物の葉脈や巻き貝の断面図など対数螺旋では無いが黄金比(に似通った)の例として度々挙げられる。工学分野では、自動車ではスポーツカークロカンセミトレーラー用トラクタ軽トラックトレッド(輪距)とホイールベース(軸距)の関係が黄金比に近い。具体的には 普通乗用車であれば1,500 mm 程度のトレッドに対し、ホイールベースが2,400 mm 前後とやや短い値となる。これは、いずれの車種においても旋回性能が重要視されるためである。

黄金比は美容外科にても用いられ、身体において、足底から臍(へそ)までの長さと、臍から頭頂までの長さの比が黄金比であれば美しいとされることがある。また、顔面の構成要素である目、鼻、口などの長さや間隔、細かな形態も黄金比に合致すれば美しいと宣伝などで謳われている。

参考文献

  • ハンス・ヴァルサー『黄金分割』日本評論社 ISBN 4535783470
  • R.A.ダンラップ『黄金比とフィボナッチ数』日本評論社 ISBN 4535783705
  • 中村滋『フィボナッチ数の小宇宙(ミクロコスモス)―フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割』日本評論社 ISBN 4535782814
  • 佐藤修一『自然にひそむ数学―自然と数学の不思議な関係』講談社ブルーバックス ISBN 406257201X
  • アルプレヒト・ボイテルスパッヒャー、ベルンハルト・ペトリ『黄金分割―自然と数理と芸術と』共立出版 ISBN 4320017811
  • 高木貞治『数学小景』岩波現代文庫 ISBN 4006000812
  • ユークリッド原論(縮刷版)』共立出版 ISBN 4320015134
  • 関隆志『古代アッティカ杯―ギリシア美術の比例と装飾の研究』 ISBN 4805505761
  • Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

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黄金比:自然と芸術にひそむもっとも不思議な数の話

5つ星のうち 4.0黄金比の数理的な美

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黄金比について知っておくべき最小限の内容が、簡潔に纏まっています。 正五角形、五芒星、フィボナッチとの関連も非常にわかりやすいです。 私見ですが、内容を読む限りでは、絵画や音楽との関連を云々するのは、 少々黄金比を神聖化しすぎのような気がする。 数理的な美を秘めた比率 であることをもって、すでに充分”黄金”の名にふさわしいと思います。

5つ星のうち 4.0圧縮された知

(参考になった人 18/19 人)

ものを見る目が変わるというか、深く観察する、多方面から考察するという事に目覚める機会になると思います。 大人の好奇心も満たしますが、私は子供の頃にこの本に出会いたかった…

5つ星のうち 4.0中高生に

(参考になった人 1/1 人)

数学の好きな中高生に、幾何の面白さを伝えるのにとても向いていると思います。 シリーズのどれも良いですが特に黄金比は生活の中でも見つけやすいので、興味を惹き付ける様です。

フィボナッチ―自然の中にかくれた数を見つけた人

西欧にアラビア数字を紹介し、フィボナッチ数列を発見した数学者の伝記絵本です。 小学生でも字面を追って読むことはできるでしょうけど、人生を味わうのは大人じゃないと分かりませんね。 周囲とぶつかりながら、少しでも社会に貢献することは、とてつもなく偉大なことですね。 エジソンやアインシュタインの子どもの頃と同じような少年時代が描かれていますね。 意外と本人は苦しみながら、宝物を見つけているのかもしれません。

5つ星のうち 5.0小学二年生が読了

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小学二年生の息子が独力で読了しました。 面白かったそうです。 きっかけは「数の悪魔」を読んだことです。 フィボナッチ数列が度々登場していたので私がこの本を探し息子に与えてみました。 すると、一日か二日で読み終えてしまいました。 読書が好きというよりは算数や数学が大好きな子です。 学校の枠にとらわれず、どんどんと学んでいきます。 そういう子なら幼くともきっとこの絵本を楽しめると思います。

5つ星のうち 5.0絵本だからと言って

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絵本だからと言ってバカにしてはいけない。 よくIQテスト、しれっとでてくるフィボナッチの数列。 やはり、考えれば考えるほど難しい。 フィボナッチはそもそもいつ産まれていつ亡くなったのかすらハッキリとは分かっていない。 この絵本では一応生い立ちみたいなもの書いてある。 子供時代に自身が読みたかったなぁーと思う絵本です。

5つ星のうち 4.0境界線と水平線

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去年の夏、嫁と車を飛ばして健次の故郷へ行ってきた

そこに何も無い事は行く前からわかっていたし、やはり何もない事を確認してきた旅だった

健次の生誕地跡 健次が文学に目覚めた出身高校 火まつり(御橙祭り)の神倉神社 丹鶴城跡公園 臥龍山のはずれの健次の墓地

その墓地のすぐ下の屠殺場... 姉の美恵が飛び込もうとした駅裏の踏切

そこにはやはり何もなく、人が当たり前に生きて当たり前に死んでゆく街だった

だが、時代がねじれる時、時代が軋む時、その街には境界線がはっきりと刻まれる

健次がもしこの時代に生きていたら、健次は何を書き、どのように行動し、どんな発言をしただろう

過激派左翼として活動した60年代、右翼としか思えないその後の発言、路地や路地の者達への尽きる事のない愛、韓国への激しい熱情

三島由紀夫の様に路地の若集を集め武装しクーデターを夢見ただろうか それともカウンターとして.

..

しかしそんな事は今更考えても仕方ないのである 健次はこの時代にはもう存在していない

健次を読み、健次を愛した者達が(きっと健次にはお前らに何がわかると罵倒されそうだけど)どうするか、どう生きるかなのである

空がまた暗くなりそうな、境界線と水平線が縺れ合う、この時代に...

追伸 全然「岬」のレビューになってなくてすいません 健次に初めて出会ったのは「岬」この小説でした

5つ星のうち 4.0「岬」を読んで

(参考になった人 5/13 人)

中上健次の岬を読んだ。3週間かかって読んだ。
一言でいい表せない話だった。複雑な話だった。変わってる話だった。明確な話がない。ストーリーは理解できるのだが、自分の世界と価値観が違っているきがする。登場人物がなにを考えてるのか理解できない。いきなり人が殺される。殺されたのは、義兄の兄弟。どうしちゃったの、あれ。なんで人が1人ころされているのに、周りは全然平気な扱いなんだ?
なんか変な感じ。主人公の家族構成がおかしい。家族には、母親以外、血の繋がっている人がいない。
なにを書けばいいかわからなくなってきちゃった。
本当にこの本の内容を理解しているのか自信がない。
面白いようなきもするんだけど、つまらないような感じもする。
まあ、そんな話。

人生の息苦しいほど底辺感が、迫ってくるような短編集。 ううう、読みづらい。 評判どおり読みづらい書きっぷり。 唐突な場面転換だからだろうか、文章の中で迷子になってしまう事しばしばだ。 タイトル作は、父と母のドロドロの離別、その後の複雑な家庭環境、兄の自死、といった著者の生い立ちとリンクしているのだろう(「火宅」も同様です)。 ねちっこくて長ったらしい文書に怨念のようなものを感じてしまう。 特に、異母兄妹と思しき女性に抱く、性的に屈折した感情表現は薄気味悪くすらある。 確かに、ブンガクであり、嫌いと言わせない迫力をもっている。 【芥川賞】

コンパスと定規の数学:手で考える幾何学の世界

徹頭徹尾、図形の作図方法のみが書かれており、なぜそうなるのかの説明は 完全に省略されています。 それだけに理由を考えるのが楽しい。 私は子供の 頃からコンパスの使い方がヘタで、今も実際に使うのは嫌ですが、作図手順 の合理性や出来上がった図を見ると、心の底から美しいと感じました。

5つ星のうち 5.0勉強になります

(参考になった人 27/27 人)

コンパスを片手に本を見ながらいろいろ作図すると楽しいです。 小学校の自習時間などに自由にコンパスで描くという時間を設けてほしいです。 コンパスと定規だけでもこれだけ数多くの模様が作図できることが興味深いです。

知人に勧められて購入。 良いコンパスを買い、これを見ながら作業すると楽しいです。 よくわからなくても手が理解して行くので、もう一度読んでみるとわかる。 幾何学に苦手意識のある大人に勧めたい。

黄金比』の解説 by はてなキーワード

Golden Ratioの訳。

正方形の一辺にその約60%分の長方形を足した時、バランスが取れていると感じられる。

このときの短辺と長辺の比率は、以下の式で表される。これを黄金比という。

¥Large{1} ¥text{:} ¥frac{¥normalsize 1+¥sqrt{5}}2 = 1 ¥text{:} 1.618033988...

黄金比長方形から正方形を切り取ったときに残る長方形(図の赤線の部分)もまた黄金比を持つことが特徴。

この黄金比は、植物の花弁や貝殻の螺旋構造など自然界でもあらゆる所で見られる*1。人工物としては、ギリシャ神殿でその比を見ることが出来る。名刺や新書判などの縦横比もほぼ黄金比をなす。また、フィボナッチ数列とも関連が深い。

黄金比』by Google Search

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