演算のまとめ情報

算法』の解説

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n 項算法(エヌこうさんぽう)とは、広義には、集合 A直積集合 An部分集合 D から A への写像 f のことをいい、D をこの算法の定義域という。n は任意の順序数でよい。

これを(仮に)f の項数とよぶ。

Ani < n をみたす順序数 i を添数とする A の元の族 (ai)i<n すべてからなる集合を表す。

集合 A とそこにおける算法の族 R との組み (A, R) を代数系という。

全域的算法

通常は、D = An の場合を考えることが多く、そういう算法 f を(仮に)全域的算法とよぶ。

また、n が有限順序数の場合を考えることが多い。

その場合、AnAn 個の元の組み (a0, a1, ..., an−1) の全体であって、f によってこれをうつしたものは f(a0, a1, ..., an−1) と書くことができる。

しかしさらに、n = 2 の場合を考えることが多く、この場合、 f(a0, a1) を a0 f a1 とか a0 a1 f とか書くことが多い。

従って、全域的な 2 項算法とは、A の元の二つ組み (a, b) の各々に A の何らかの元を対応させる写像のことである。

例えば、二つの実数 a, b にその和 a + b を対応させる写像は、実数すべての集合における全域的 2 項算法であって、和の記号 + はこの算法(すなわち加法)の上記二番目の記法 a0 f a1f に当たるものと解される。

加法は普通の中置記法では a + b と書くが、逆ポーランド記法では a b + と書く。

これは、上記の a0 a1 f という記法に当たるものと解される。

実数の減法乗法除法についても同様である。

ただし除法は、0 で割ることができないから、全域的ではない。

1 項算法も珍しくはない。

例えば、複素数にその共役複素数を対応させる写像は 1 項算法である。

また、 K 上の線型空間 V においては、 K の任意の元 aV の任意の元 v に対して V の元 av が存在するが、これは、K を添数集合とする V の 1 項算法族 (fa)aK があって favav で表していると解される。

こう考えれば、例えば R 上の加群 M における R の元の M への作用のような「外的算法」は、すべて 1 項算法とみなされる。

なお、1 項算法は単項算法とよぶ方が語呂がいい。

非全域的算法

非全域的(あるいは局所的)な算法も珍しくはない。

例えば、あらゆるサイズの行列の全体を M で表すとき、M の二元 A, B にその和 A + B を対応させる写像は M における 2 項算法であるが、A, B が同サイズのときにしか A + B が定義されないから、非全域的算法である。

A, B にその積 AB を対応させる写像も M における 2 項算法であるが、A の列の個数と B の行の個数が等しいときにしか AB が定義されないから、やはり非全域的算法である。

形式言語における算法は、非全域的のものが一般的である。

例えば、述語言語(論理式と項とから成る)における論理記号は、論理式に対してのみ適用可能な 2 項または 1 項の非全域的算法を表すと解される。

項数が 2 より多い非全域的算法も珍しくはない。

例えば、述語言語における n 変数関数記号や n 変数述語記号は、項に対してのみ適用可能な n 項算法を表すと解される。

超限的な項数を持つ算法

超限順序数を項数とする算法もある。

例えば、最小の超限順序数(非負整数の全体の順序型)を ω で表し、実数の全体を R で表すと、直積 Rω は実数列 a0, a1, ... の全体であるが、収束する実数列にその極限を対応させる写像は、非全域的の ω 項算法である。

数列の極限をこのように ω 項算法とみなすことには効用もある。

たとえば、数列の極限の ε-n 式定義を ω 項算法の代数的条件によって書き換えて、極限を公理化することができる。

つまり、R における次の六条件をみたす ω 項算法 L が極限に他ならない。

  1. L(a, a, ...) = a
  2. L(a1, a2, ...) = a, L(b1, b2, ...) = b, anbn (n=1,2,...) なら ab
  3. L(a1, a2, ...) = a なら a1, a2, ... の任意の部分列 b1, b2, ... に対して L(b1, b2, ...) = a
  4. はさみうちの原理L(a1, a2, ...) = L(b1, b2, ...) = a, ancnbn (n=1,2,...) なら L(c1, c2, ...) = a
  5. アルキメデスの原理L(a±(1/1), a±(1/2), a±(1/3), ...) = a (複号同順)
  6. a1, a2, ... の任意の部分列 b1, b2, ... に L(c1, c2, ...) = a なる部分列 c1, c2, ... があれば L(a1, a2, ...) = a

大学 1, 2 年次の学生や高校生に「行列の算法は非全域的算法である」とか「極限は ω 項算法である」とか教えるのは勧められないが、数理科学者がそういうことを認識するのは、視野が広がるので好ましいであろう。

算法概念の拡張

冒頭に定義したとおり、f が集合 A における n 項算法であるとは、fAn のある部分集合 D から A への写像であることをいう。

そうすると f は、An×A の部分集合 と同一視される。

従って、もしも f, g, ... n 項算法なら、それらの集合としての和を考えることができる。

しかし一般には、f を動かせば、それに応じて n も動く。

そこで、より一般に、An (n = 0, 1, 2, ... < ω) の集合としての直和を A* で表し、A* × A の部分集合 R のことまでも算法とよぶことにする。

ただしこういう広義 の算法については、α ∈ A*yA とが (α, y) ∈ R をみたすことを通常の算法のように R(α) = y と書き表すことはできず、α R y と書かなければならない。

一つの α ∈ A* に対して (α, y) ∈ R をみたす y が唯一つとは限らないからである。

この意味でこれは、もはや算法ではなく(やはり広義の )関係とよぶべきかもしれない。

こういう広義の算法・関係は、数理論理学にしばしば現れる。

例えば述語言語 A において、意味写像 f * の下で inf ≤ f *(b) をみたす論理式 a1, ... , an, bn は任意)から出来る AA の元 ((a1, ... , an), b) の全体を R で表せば、これは上記の意味での広義の算法・関係である。

このように算法の概念と関係の概念をともに拡張して統合すると、算法と関係とを統一的に扱うことができて極めて有効である。

命名について

算法を「演算」とよぶことも多い。

しかし、ここで考えた「算法の概念」の名前としては、「算法」も「演算」も相応しくはないであろう。

「算法」は「計算の規則」あるいは「計算の方法」を連想させ、「演算」は「計算を演ずるという行為」を連想させ、ともに「写像」としての「算法の概念」を連想させにくい。

一つの写像に対しても、それの「計算の方法」は一般に複数あり、「計算する方法」も「計算の規則」も具体的に記述できない場合さえあり、人や機械が「計算を演ずるという行為」はもちろん写像とは異なるからである。

「写像」という概念が未発達で「計算」と「計算の仕方」の違いも曖昧であった時代に生まれた「算法」とか「演算」とかの言葉を用いるのが間違っているのであろう。

冒頭に記したとおり、計算機科学の分野ではアルゴリズムを「算法」とよぶこともあり、その場合には上記の意味での「算法」は「演算」とよぶ方がよいかもしれない。

しかし数学の分野では、上記の意味での「算法」という術語も昔から定着している。

むしろアルゴリズムを「算法」ではなく「計算手順」とする方が、意味からいっても先例を尊ぶ点でも、好ましいであろう。

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CPUの創りかた

ふとFPGAでCPUを作ろうと思い立ち、色々調べていたら、本書がとあるブログで紹介されていました。

本書のお陰で、CPUの大まかな構成を理解することができました。
全体的に無用な表現が多い本でしたが、それが助けになっていたと思います。
冗長な文章は、逆に分かりづらくなりがちですが、この本は大変分かりやすかったです。
内容も、冗長な部分を抜けば三分の一くらいになるのでしょうが、その部分があるからこそ、飽きずに読み切ることが出来ました。

CPUの構成について大体理解することが出来る本です。

ついでに、ラーメンタイマーまで作れるようになります。

内容については、前半は電子工作の基礎みたいなものですが、CPUというハードウェアを知るのだから、必要な知識かと思います。
後半からCPUの設計に入りますが、やはり最初から読んでいった方が理解が捗ると
思います。

実際に作らなくても良いけど、読む価値は大いにアリですね。 特に、ハードウェアを実際に作る事が無いだろう、ソフトウェア技術者オンリーの人こそ。 ソフトウェアを開発するにあたり、プログラムを組んでいても、時には「理屈は詳しくは分からないけど、こういう現象は起こるから、こういう対策はしないとね。 」という経験は、ある程度の水準のプログラムを作る上で、プログラマは経験する様になるかもしれません。 実際に作らなくても、この本を理解でいれば、その「理屈は詳しくは分からないけど」の部分のブラックボックスの中身がイメージできるようになるかもしれません。

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TD4面白いです。 無駄に技術を使う姿勢にも好感が持てます。 普通に作るのは面白くないので純流体素子とかTinkertoy Computer で作ると無駄さ加減で画期的だと思うのですが誰かチャレンジしないかな。 ところで、40年程前のパソコン黎明期はこんなふうに皆熱かった。 例えば、こんな本 「実験で学ぶディジタル回路―AND回路からコンピュータ製作まで」 たしか8bit CPUをTTLで製作していたと記憶します。 「CPUの創りかた」昔を懐古するオタク爺さんにもお勧めの本です。

演算』の解説 by はてなキーワード

集合 S 上の演算とは、一般には S のいくつかの元に対して S の元を対応させる写像のことを指す。代表的なのは

(1) 単項演算 ¥theta:S¥to S

G を群とするとき、x¥in Gx^{-1}¥in G を対応させるのは、G 上の単項演算である。

(2) 二項演算 ¥alpha:S¥times S¥to S

同じく G を群として、¥alpha(g,h)=gh¥in G (群 G 上の積)は G 上の二項演算である。

同様にして n 項演算 S¥times S¥times¥cdots¥times S¥to S も定義できる。

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演算』by Google Search

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